O minicurso é uma breve introdução à teoria da regularidade para edps lineares elípticas de segunda ordem. Serão tratadas equações com coeficientes regulares e equações com coeficientes meramente mensuráveis e limitados. No primeiro caso, será desenvolvido o método dos quocientes diferenciais de Nirenberg, seguindo a abordagem de [2]. No segundo caso, será desenvolvido o essencial da teoria de De Giorgi-Nash-Moser, com base em [3, 4, 6]. Os pré-requisitos para o minicurso são o domínio do Cálculo para funções de várias variáveis e conhecimentos básicos de Análise Funcional Linear.
Metodologia
O minicurso funcionará via Google Meet, com aulas síncronas e a projecção do ecrã funcionando como um quadro. Para além da exposição da matéria, serão apresentados abundantes exemplos. Todas as semanas, será fornecida uma lista de exercícios para trabalho autónomo dos estudantes.
Programa
1. Equações lineares elípticas.
2. Coeficientes regulares.
(a) Quocientes diferenciais. (b) Regularidade no interior. (c) Regularidade até à fronteira.
3. Coeficientes limitados.
(a) O 19º problema de Hilbert. (b) A teoria de De Giorgi–Nash. (c) A desigualdade de Harnack de Moser. (d) Extensão às equações quasi-lineares.
Referências bibliográficas
[1] E. De Giorgi, Sulla differenziabilità e l’analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari, Mem.
Accad. Sci. Torino, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 3 (1957), 25-43.
[2] L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics 19, AMS,2012.
[3] M. Giaquinta, Introduction to Regularity Theory for Nonlinear Elliptic Systems, Birkhäuser, 1993. [4] Q. Han and F. Lin, Elliptic Partial Differential Equations, Courant Lecture Notes in Mathematics 1,
1997.
[5] J. Nash, Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations, Amer. J. Math. 80 (1958), 931-954.
[6] J.M. Urbano, Regularity for partial differential equations: from De Giorgi-Nash-Moser theory to intrinsic
scaling, in: CIM Bulletin 12, pp. 8-14, June 2002.
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